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Hilbert 发布于:

希尔伯特(David Hilbert,公元1862─公元1943)是德国著名的数学家,他出生于东普鲁士哥尼斯堡,自1895年起任哥廷根大学(University of Goettingen)的终生职教授,1928年成为皇家学会会员。大体而言,他以在几何和数学基础上影响深远的研究最为著名;希尔伯特纲领(Hilbert's Programme)促使可计算理论(Computability Theory)的发展。他收集了23个问题,现称为希尔伯特问题(Hilbert's Problems),对二十世纪数学发展的进程产生了深远的影响;其中仍有许多问题尚未解决。其成就包括环论的希尔伯特基底定理(Hilbert's Basis Theorem)、《几何基础》(Grundlagen der Geometrie),以及他对希尔伯特空间(Hilbert Space)理论和数论的研究。Hilbert(1862~1943),以及代数不变量、代数数论、几何基础、变分法等方面都有了不起的贡献,堪称他那时代最伟大的数学家。他提倡数学公理化,「Hilbert 问题」对于二十世纪的数学发展影响甚大。

1862年 Hilbert 生於 哥尼斯堡(Königsberg)(当时为东普鲁士首都,二次大战画入俄罗斯版图),1880年进入当地大学,1884年得博士学位,1886年起在该大学教书,1892年成为教授并成婚。1895年成为 Goettingen 大学教授,一直到过世为止。

Hilbert 做数学的特色是每一时期只专注於一个领域,把主要问题解决後,就转往另一领域。

1884至1892年,Hilbert 专注於代数不变量,证明代数式之任一变换群的不变量,都有一组有限的基底,而且可以实际建构出来。1892至1898年则专注於代数数论,奠定了类体论的基础。1898年开始专注於平面几何公理化的问题,结果在次年完成《几何的基础》一书,为平面几何建立了完整的公理化系统。1899到1901年则是 Hilbert 的变分法时期,以严格的证明,确立了Dirichlet 原理:在边界曲线及边界值有稍许限制下,有既定边界值且有连续偏导的所有可能的函数中,会有某一个函数的双重积分值会达到最小值。1902年,Hilbert 转向积分方程,由此导出无穷维线性空间(Hilbert 空间),为随後的量子物理学储备了犀利的数学工具。

除了在各领域有杰出的成就外,Hilbert 将几何严格公理化的想法很快普及到数学的各领域,而 Hilbert 自己也认真学习物理,想把物理的各分支公理化;不过他在物理学公理化方面的成就有限。

1922年,Hilbert 转到研究公理化本身,希望证明一般的公理化系统在独立性、一致性及完备性都不成问题。但1930年代,Gödel 的几篇论文却使这样的希望未能完全实现。

此外,Hilbert 於1900年巴黎第二届国际数学会议演讲也深深影响了二十世纪数学的发展。他认为问题是数学活动的泉源,而问题有些来自经验与自然现象,有些则因为要将一门学问做逻辑整合、一般化、特殊化而产生。这种理论与经验的交互作用使得数学变得非常有用。他在此定名为「数学问题」的演讲後半中,举了23个有待二十世纪数学家来解决的问题,一一加以说明其背景。这就是著名的 Hilbert 问题,它们的确在二十世纪的数学发展中扮演很重要的角色。

Hilbert 对知识取得这件事一直是乐观的,相应於哲学家 du Bois-Reymond 的悲观说法:我们是无知的,而且我也会一直是无知的,Hilbert 提出了终身的信念则是:我们一定要知道,我们一定会知道。

70岁以後的 Hilbert 身体不太好,记忆也减退。有一天,Hasse 和 Hilbert 谈起类体论,Hilbert 却要求把类体论的基本概念及结果解释给他听,随後 Hilbert 的反应却是:这的确很漂亮,是谁发明的?

1933年希特勒当权,开始迫害犹太人,Hilbert 的故旧门生纷纷离开德国。Hilbert 变得孤独,再也没有活力,就此拖完馀生。

希尔伯特(Hilbert D.,1862.1.23~1943.2.14)是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中,几乎走遍了现代数学所有前沿阵地,从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心,他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者,使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时,德国《自然》杂志发表过这样的观点:世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大,在整个数学版图上,留下了他那显赫的名字。 1900年,希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究,这就是著名的"希尔伯特23个问题"。

1975年,在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上,数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计,约有一半问题已经解决了,其余一半的大多数也都有重大进展。

1976年,在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中,有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见,能解决希尔伯特问题,是当代数学家的无上光荣。

下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况:

1. 连续统假设 1874年,康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数,这就是著名的连续统假设。1938年,哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年,美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此,连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。

2. 算术公理的相容性 欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年,哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。

1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出,数学相容性问题尚未解决。

3. 两个等底等高四面体的体积相等问题

问题的意思是,存在两个等边等高的四面体,它们不可分解为有限个小四面体,使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。

4. 两点间以直线为距离最短线问题 此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多,因而需增加某些限制条件。1973年,苏联数学家波格列洛夫宣布,在对称距离情况下,问题获得解决。

《中国大百科全书》说,在希尔伯特之后,在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展,但问题并未解决。

5.一个连续变换群的李氏概念,定义这个群的函数不假定是可微的 这个问题简称连续群的解析性,即:是否每一个局部欧氏群都有一定是李群?中间经冯·诺伊曼(1933,对紧群情形)、邦德里雅金(1939,对交换群情形)、谢瓦荚(1941,对可解群情形)的努力,1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决,得到了完全肯定的结果。

6.物理学的公理 希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理,首先是概率和力学。1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化,很多人表示怀疑。

7.某些数的无理性与超越性 1934年,A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分,即对于任意代数数α≠0 ,1,和任意代数无理数β证明了αβ 的超越性。

8.素数问题 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润(1966),但离最解决尚有距离。孪生素数问题的最佳结果属于陈景润、陶哲轩、张益唐等人,张益唐证明了存在无穷多个差小于7000万的素数对。

9.在任意数域中证明最一般的互反律 该问题已由日本数学家高木贞治(1921)和德国数学家E.阿廷(1927)解决。

10. 丢番图方程的可解性 能求出一个整系数方程的整数根,称为丢番图方程可解。希尔伯特问,能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性?1970年,苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。

11. 系数为任意代数数二次型 H.哈塞(1929)和C.L.西格尔(1936,1951)在这个问题上获得重要结果。

12. 将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去 这一问题只有一些零星的结果,离彻底解决还相差很远。

13. 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程 七次方程 的根依赖于3个参数a、b、c,即x=x (a,b,c)。这个函数能否用二元函数表示出来?苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形(1957),维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形(1964)。但如果要求是解析函数,则问题尚未解决。

14. 证明某类完备函数系的有限性 这和代数不变量问题有关。1958年,日本数学家永田雅宜给出了反例。

15. 舒伯特计数演算的严格基础 一个典型问题是:在三维空间中有四条直线,问有几条直线能和这四条直线都相交?舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化,并给以严格基础。已有了一些可计算的方法,它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。

16. 代数曲线和代数曲线面的拓扑问题 这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论 的极限环的最大个数和相对位置,其中X、Y是x、y的n次多项式.苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3,但这一结论是错误的,已由中国数学家举出反例(1979)。

17. 半正定形式的平方和表示 一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0,是否都能写成平方和的形式?1927年阿廷证明这是对的。

18. 用全等多面体构造空间 由德国数学家比勃马赫(1910)、荚因哈特(1928)作出部分解决。

19. 正则变分问题的解是否一定解析 对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。

20. 一般边值问题 这一问题进展十分迅速,已成为一个很大的数学分支。还在继续研究。

21. 具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明 已由希尔伯特本人(1905)和H.罗尔(1957)的工作解决。

22. 由自守函数构成的解析函数的单值 它涉及艰辛的黎曼曲面论,1907年P.克伯获重要突破,其他方面尚未解决。

23. 变分法的进一步发展出 这并不是一个明确的数学问题,只是谈了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。

这23问题涉及现代数学大部分重要领域,推动了20世纪数学的发展。


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